Question

已知函数f（x）=lnx-ax+-1（a∈R），
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当0≤a＜时，讨论f（x）的单调性。

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=-1时，，
所以，
因此f′（2）=1，即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，
又f（2）=ln2+2，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为x-y+ln2=0。
（Ⅱ）因为，
所以，
令，
①当a=0时，g（x）=-x+1，，
当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②当时，由f′（x）=0即，解得，
此时，
所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
综上所述：当a=0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在上单调递增；在上单调递减。