Question

（2013•营口二模）已知函数f(x)=

1

2

cosxcos2x-cos3x+cos(

π

2

-x)-

1

2

cosx
（1）若x∈R，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若x∈(0，

π

4

)，且sin2x=

1

3

，求f（x）的值．

Answer 1

分析：（1）根据两角和与差公式以及二倍角公式化简函数为

2

sin（x-

π

4

），然后根据正弦函数的特点求出最值即可；
（2）根据x的范围可得f（x）＜0，再对函数f（x）的解析式进行平方结合题中条件可得[f（x）]²=

2

3

，然后得到答案．

解答：解：f(x)=

1

2

cosxcos2x-cos3x+cos(

π

2

-x)-

1

2

cosx=cosx(cos2x-

1

2

-cos2x)+sinx-

1

2

cosx=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)．…（2分）
（1）当x∈R时，-

2

≤f（x）≤

2

；
∴f（x）的最大值为

2

，最小值为-

2

；…（5分）
（2）x∈(0，

π

4

)时，x-

π

4

∈(-

π

4

，0)，sin(x-

π

4

)＜02x∈(0，

π

2

)，sin2x∈（0，1）；           …（7分）
f²（x）=sin²x+cos²x-2sinxcosx=1-sin2x；sin2x=

1

3

，则f2(x)=1-

1

3

=

2

3

；…（9分）
∵f(x)=

2

sin(x-

π

4

)＜0
∴f(x)=-

2 3

=-

6

3

．…（12分）

点评：此类问题的关键是熟练掌握诱导公式与两角差的正弦公式，以及进行正确的运算也是关键．