Question

F₁、F₂是椭圆

x2

9

+

y2

7

=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F₁AF₂=60°，则△F₁AF₂的面积为（　　）

• A、

  7 3

  3

• B、

  7

  2

• C、

  7

  4

• D、

  7 5

  2

Answer 1

分析：利用椭圆的定义，可求得|AF₁|+|AF₂|=2a=6，|F₁F₂|=2c=2

2

，先由余弦定理求得|AF₁|•|AF₂|=

28

3

，再利用正弦定理即可求得△F₁AF₂的面积S=

1

2

|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂．

解答：解：依题意，作图如下：
∵a²=9，b²=7，
∴c²=a²-b²=2，
又|AF₁|+|AF₂|=2a=6，|F₁F₂|=2c=2

2

，∠F₁AF₂=60°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：
|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₁AF₂
=(|AF1|+|AF2|)2-3|AF₁|•|AF₂|，
即4c²=4a²-3|AF₁|•|AF₂|，
∴3|AF₁|•|AF₂|=4b²=28，
∴|AF₁|•|AF₂|=

28

3

，
∴△F₁AF₂的面积S=

1

2

|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂=

1

2

×

28

3

×

3

2

=

7 3

3

．
故选：A．

点评：本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．