Question

已知在等差数列{a_n}中，a₃=4前7项和等于35，数列{b_n}中，点（b_n，s_n）在直线x+2y-2=0上，其中s_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）设c_n=a_n•b_n•T_n为数列{c_n}的前n项和，求T_n并证明；

4

3

≤T_n＜

5

2

．

Answer 1

分析：（1）假设数列{a_n}的首项与公差为d，利用a₃=4，前7项和等于35，可建立方程组，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据点（b_n．s_n）在直线x+2y-2=0上，可得b_n+2s_n-2=0，再写一式b_n-1+2s_n-1-2=0（n≥2），作差化简可得b_n=

1

3

b_n-1（n≥2），从而可知数列{b_n}是等比数列；
（3）由（2）知，b_n=

2

3

•（

1

3

）^n-1=

2

3n

，从而c_n=a_n•b_n=（n+1）•

2

3n

，T_n=

2×2

3

+

2×3

32

+

2×4

33

+…+

2(n+1)

3n

，同乘

1

3

1

3

T_n=

2×2

32

+

2×3

33

+

2×4

34

+…+

2n

3n

+

2(n+1)

3n+1

，作差，进而可求T_n从而可证

4

3

≤T_n＜

5

2

．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则由题意知：

a1+2d=4 7a1+ 7×6 2 d=35

得

a1=2 d=1

∴a_n=a₁+（n-1）d=2+n-1=n+1…（3分）
（2）∵点（b_n．s_n）在直线x+2y-2=0上
∴b_n+2s_n-2=0----①，b_n-1+2s_n-1-2=0（n≥2）-----②
①-②得b_n-b_n-1+2b_n=0，∴b_n=

1

3

b_n-1（n≥2），…（6分）
又当n=1时，b₁=-

1

2

b₁+1∴b1=

2

3

≠0
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．…（9分）
（3）由（2）知，b_n=

2

3

•（

1

3

）^n-1=

2

3n

，
∴c_n=a_n•b_n=（n+1）•

2

3n

T_n=

2×2

3

+

2×3

32

+

2×4

33

+…+

2(n+1)

3n

-----------③

1

3

T_n=

2×2

32

+

2×3

33

+

2×4

34

+…+

2n

3n

+

2(n+1)

3n+1

------④
③-④得，

2

3

T_n=

2×2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2(n+1)

3n+1

∴T_n=2+

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

-

(n+1)

3n

=2+

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

3n

=2+

1

2

(1-

1

3n-1

）-

n+1

3n

=

5

2

-

2n+5

2×3n

  …（14分）
T_n=

5

2

-

2n+5

2×3n

＜

5

2

由③知T_n的最小值是T₁=

4

3

∴

4

3

≤T_n＜

5

2

…（16分）

点评：本题以等差数列为载体，考查等差数列的通项与前n项和，考查等比数列，考查错位相减法求和．