Question

已知在等差数列{a_n}中，a₁=31，s_n是它的前n项的和，s₁₀=s₂₂
（1）求s_n；
（2）这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．

Answer 1

解：（1）∵s₁₀=a₁+a₂+…+a₁₀
S₂₂=a₁+a₂+…+a₂₂，又s₁₀=S₂₂
∴a₁₁+a₂+…+a₂₂=0
∴，即a₁₁+a₂₂=2a₁+31d=0，又a₁=31，
∴d=-2
∴，
（2）∵s_n=32n-n²
∴当n=16时，s_n有最大值，s_n的最大值是256．
分析：（1）根据S₁₀=S₂₂，由等差数列的前n项和的公式可知，从第11项到第22项的和等于0，根据等差数列的前n项和的公式表示出第11项到第22项的和，然后利用等差数列的通项公式化简后得到首项和公差的关系式，把首项的值代入即可求出公差，利用首项和公差写出等差数列的前n项和的公式即可；
（2）根据（1）写出的前n项和的公式，发现S_n与n成的是二次函数关系，利用二次函数取最大值的方法即可求出S_n的最大值及此时n的值．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，掌握二次函数求最值的方法，是一道中档题．