Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，点是点关于轴的对称点，过点的直线交抛物线于两点。

（Ⅰ）试问在轴上是否存在不同于点的一点，使得与轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点的坐标，若不存在说明理由。

（Ⅱ）若的面积为，求向量的夹角；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）存在T（1,0）；（Ⅱ）向量的夹角．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）试问在轴上是否存在不同于点的一点，使得与轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点的坐标，若不存在说明理由，这是一个探索性命题，解这一类问题，一般都假设其存在，若能求出的坐标，就存在这样的点，若不能求出的坐标，就不存在这样的点，本题假设存在满足题意，与轴所在的直线所成的锐角相等，则它们的斜率互为相反数，结合直线与抛物线的位置关系，采用设而不求的方法即可解决；（Ⅱ）求向量的夹角，可根据夹角公式，分别求出，与即可．

试题解析：（Ⅰ）由题意知：抛物线方程为：且 

设   直线代入得

，

假设存在满足题意，则

    

  存在T（1,0）

（Ⅱ），

（13分）

考点：直线与抛物线位置关系，向量夹角．