Question

已知数列{a_n}为等比数列，a₁=2，公比q＞0，且a₂，6，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

，求使Tn＜

6

7

的n的值．

Answer 1

分析：（1）由a₂，6，a₃成等差数列，知12=a₂+a₃，由{a_n}为等比数列，且a₁=2，故12=2q+2q²，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=log22n=n，知bnbn+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂项求和法能够求出由Tn＞

15

16

的n的取值．

解答：解：（1）由a₂，6，a₃成等差数列，
得12=a₂+a₃…（2分）
又{a_n}为等比数列，且a₁=2，
故12=2q+2q²…（3分）
解得q=2，或q=-3，
又q＞0…（5分），
∴q=2，
∴an=2•2n-1=2n…（7分）
（2）∵bn=log22n=n，
∴bnbn+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（10分）
∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

) =1-

1

n+1

…（12分）
故由Tn＞

15

16

，
得n＜6，又n∈N^*
∴n的取值为1，2，3，4，5．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．