题目内容
A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
分析：（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．
（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．
（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．
解答：解：（1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A1）=2×
×
=
，P（A2）=
×
=
．P（B0）=
×
=
，
P（B1）=2×
×
=
，所求概率为：
P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）
=
×
+
×
+
×
=
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，
）．
P（ξ=0）=（
）3=
，
P（ξ=1）=C31×
×（
）2=
，
P（ξ=2）=C32×（
）2×
=
，
P（ξ=3）=（
）3=
∴ξ的分布列为
∴数学期望Eξ=3×
=
．
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A1）=2×
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
P（B1）=2×
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）
=
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 9 |
| 1 |
| 4 |
| 4 |
| 9 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，
| 4 |
| 9 |
P（ξ=0）=（
| 5 |
| 9 |
| 125 |
| 729 |
P（ξ=1）=C31×
| 4 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 100 |
| 243 |
P（ξ=2）=C32×（
| 4 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 80 |
| 243 |
P（ξ=3）=（
| 4 |
| 9 |
| 64 |
| 729 |
∴ξ的分布列为
∴数学期望Eξ=3×
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．
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，服用B有效的概率为
。
表示这3个试验组中甲类组的个数，求
，服用B有效的概率为
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