Question

已知函数．
（1）若函数f（x）在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）知果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：，这里n∈N^*，（n+1）!=1×2×3×…×（n+1），e为自然对数的底数．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出定义域，再对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的极值点问题，先求出极值点；
（2）已知条件当x≥1时，不等式恒成立，将问题转化为k≤，利用了常数分离法，只要求出的最小值即可，可以令新的函数g（x），然后利用导数研究函数g（x）的最值问题，从而求出k的范围；
（3）利用（2）的恒成立式子，可有ln[k（k+1）]＞1-，利用此不等式对所要证明的不等式两边进行放缩，从而进行证明；
解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）==-，
f′（x）＞0?lnx＜0?0＜x＜1，
f′（x）＜0?lnx＞0?x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，
由题意，a＞0，且a＜1＜a+，解得＜a＜1，
所以实数a的取值范围为＜a＜1；
（2）当x≥1时，f（x）≥?≥?k≤，
令g（x）=（x≥1），由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
g′（x）==，
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′（x）=1-≥0，当且仅当x=1时取等号，
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=1＞0，
因此g′（x）=＞0，g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（1）=2，
所以k≤2；
（3）由（2），当x≥1时，f（x）≥，即≥，
从而lnx≥1-＞1-，
令x=k（k+1），k∈N₊，则有ln[k（k+1）]＞1-，
分别令k=1，2，3，…，n（n≥2）则有ln（1×2）＞1-，ln（2×3）＞1-，…，
ln[n（n-1）]＞1-，ln[n（n+1）]＞1-，
将这个不等式左右两端分别相加，则得，
ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[++…+]=n-2+，
故1×2²×3²×…×n²（n+1）＞，从而，
当n=1时，不等式显然成立；
所以?n∈N₊，；
点评：此题难度比较大，考查了利用导数研究函数的单调性和最值问题，第三问难度最大，需要对不等式的两边进行放缩，巧妙利用第（2）问的条件得到一个不等式，利用这个不等式进行放缩证明，是我们常用的方法；