题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为
4
5
，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F1PF2=
π
3
，且△PF1F2的面积为3
3
，求椭圆的方程．
设椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0）．
因为点P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a．…（2分）
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos
π
3
=（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1|•|PF2|，
即4c2=4a2-3|PF1|•|PF2|．…（6分）
又因S△PF1F2=3
3
，所以
1
2
|PF1|•|PF2|sin
π
3
=3
3
，得|PF1|•|PF2|=12．
所以4c2=4a2-36，又e=
c
a
=
4
5
，
故a2=25，c2=16，b2=9，
∴所求椭圆的方程为
x2
25
+
y2
9
=1．…（12分）
练习册系列答案
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精英家教网已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A（x，y）为圆C上的一点．
（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O为坐标原点）的取值范围；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上点P(3
2
，4)到两焦点的距离之和是12，则椭圆的标准方程是
 
．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为6
3
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
2
2
，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为
2
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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