Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

、f（2）=

17

4

．
（1）求a、b的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）先判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，然后求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=

5

2

、f（2）=

17

4

列方程组，解这个指数方程组即可得a、b的值；（2）先求函数的解析式，在求函数的定义域，最后利用函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性；（3）利用函数单调性的定义，通过设变量，作差比较函数值的大小证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的值域即可

解答：解：（1）由

f(1)= 5 2 f(2)= 17 4

得

2+2a+b= 5 2 22+22a+b= 17 4

解得

a=-1 b=0

；
（2）∵f（x）=2^x+2^-x，f（x）的定义域为R，
由f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
所以f（x）为偶函数．
（3）f（x）在[0，+∞）上为增函数．证明如下：
设x₁＜x₂，且x₁，x₂∈[0，+∞）
f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1)-(2x2+2-x2)=(2x1-2x2)+(

1

2x1

-

1

2x2

)=(2x1-2x2)•

2x1+x2-1

2x1+x2

因为x₁＜x₂且x₁，x₂∈[0，+∞）
所以2x1-2x2＜0，2x1+x2＞1
所以f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数．
∴f（x）≥f（0）=2
f（x）的值域为[2，+∞）

点评：本题考查了指数方程的解法，函数解析式的求法，函数的奇偶性定义及其判断方法，函数单调性定义和证明方法，利用单调性求函数值域的方法