题目内容
函数f(x)=(
)x-sinx在区间[0，2π]上的零点个数为（ ）
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分析：分别讨论函数y=sinx与y=(
)x的单调性与最值，可得f(x)=(
)x-sinx满足f（0）=1＞0，f（
）＜0，f（π）=(
)π＞0，当x∈（π，2π]时，f（x）＞0恒成立．由此即可得到函数f（x）在区间（0，
）和（
，π）上分别有一个零点．
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| π |
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| π |
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解答：解：∵函数y=sinx在（0，
）、（
，2π）上是增函数，在（
，
）上是减函数
sin0=sin2π=0，sin
=1，sin
=-1
∴函数y=sinx在x=
有最大值1，在x=
处有最小值为-1
又∵y=(
)x在区间[0，2π]上为减函数，
∴y=(
)x在x=0处有最大值为1，在x=2π处有最小值(
)2π∈(0，
)
而f(x)=(
)x-sinx满足f（0）=1＞0，f（
）＜0，f（π）=(
)π＞0，当x∈（π，2π]时，f（x）＞0恒成立
综合以上信息，可得函数f(x)=(
)x-sinx在区间[0，2π]上有两个零点，分别位于（0，
）和（
，π）
故选：B
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| 3π |
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sin0=sin2π=0，sin
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∴函数y=sinx在x=
| π |
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| 3π |
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又∵y=(
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∴y=(
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而f(x)=(
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综合以上信息，可得函数f(x)=(
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| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
故选：B
点评：本题给出含有三角函数和指数的函数，讨论函数在区间[0，2π]上的零点个数．着重考查了函数的图象与性质、基本初等函数的单调性与最值等知识，属于中档题．
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