Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且cosA=

1

3

．
（1）求cos（B+C）+cos2A的值；
（2）若a=

3

，求b•c的最大值．

Answer 1

分析：（1）把所求式子第一项的角B+C变为π-A，利用诱导公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，得到关于cosA的关系式，把cosA的值代入即可求出值；
（2）利用余弦定理表示出cosA，将已知cosA的值代入，整理后利用基本不等式b²+c²≥2bc进行变形，把a的值代入可求出bc的范围，即可确定出bc的最大值．

解答：解：（1）∵cosA=

1

3

，且A+B+C=π，
∴cos（B+C）+cos2A
=cos（π-A）+cos2A
=-cosA+2cos²A-1
=-

1

3

+2×(

1

3

)2-1
=-

10

9

；
（2）由根据余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

，又cosA=

1

3

，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

3

，
∴

2

3

bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，
又∵a=

3

，∴bc≤

9

4

，
当且仅当b=c=

3

2

时，bc=

9

4

，
则bc的最大值是

9

4

．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及基本不等式的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．