Question

（本小题满分14分）已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．

Answer 1

本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

   （Ⅰ）解：当时，

       所以曲线在点处的切线方程为

   （Ⅱ）解：，令，解得

       因为，以下分两种情况讨论：

   （1）若变化时，的变化情况如下表：

	+	-	+

       所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。

   （2）若，当变化时，的变化情况如下表：

	+	-	+

       所以，的单调递增区间是的单调递减区间是

   （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：

   （1）当时，在（0，1）内单调递减，

      

       所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。

   （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若

      

       所以内存在零点。

       若

      

       所以内存在零点。

       所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。

       综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。