Question

已知函数f(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的极小值；
（2）试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．

Answer 1

（1）f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-

2

a

)(x-1)
∵a＞2，∴

2

a

＜1
∴当x＜

2

a

或x＞1时，f'（x）＞0；
当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）在(-∞，

2

a

)，（1，+∞）内单调递增，在(

2

a

，1)内单调递减
故f（x）的极小值为f(1)=-

a

2

（2）①若a=0，则f（x）=-3（x-1）²
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点．
②若a＜0，则

2

a

＜1，
∴当x＜

2

a

或x＞1时，f'（x）＜0，
当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＞0
∴f（x）的极大值为f(1)=-

a

2

＞0
∵f（x）的极小值为f(

2

a

)＜0
∴f（x）的图象与x轴有三个公共点．
③若0＜a＜2，则

2

a

＞1．
∴当x＜1或x＞

2

a

时，f'（x）＞0，
当

2

a

＜x＜1时，f'（x）＜0
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点
④若a=2，则f'（x）=6（x-1）²≥0
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点
⑤当a＞2，由（1）知f（x）的极大值为f(

2

a

)=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，函数图象与x轴只有一个交点．
综上所述，若a≥0，f（x）的图象与x轴只有一个公共点；
若a＜0，f（x）的图象与x轴有三个公共点．