Question

【题目】如图所示，直三棱柱的底面为正三角形，分别是的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）若为中点，且，设三棱锥的体积为，三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明平面，而平面，可证平面平面；

（2）由可得，从而得出，于是，设，过过作于，连接，则由∽得出，从而

试题解析：（1）证明,如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，

又是正三角形的边的中点，所以，又

所以平面，而平面，

所以平面平面．

（2）解：因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，

所以平面，所以．

由题可知，，所以．

在中，，所以．

故三棱锥的体积．

设,

过作于，连接，

∵∽,∴,

∴．

∵，．

三棱锥与三棱锥的公共部分为三棱锥，

∴，

∴．