Question

已知函数f(x)=(x≠-1),设数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=f(a_n)，数列{b_n}满足b_n=|a_n-3|,S_n=b₁+b₂+…+b_n(n∈N₊)

(1)用数学归纳法证明b_n≤;

(2)求证：S_n＜.

Answer 1

证明：（1）当x≥0时,f(x)=1+≥1,

因为a₁=1,所以a_n≥1(n∈N ₊)

下面用数学归纳法证明不等式b_n≤：

①当n=1时，b₁=-1,不等式成立.

②假设当n=k时，不等式成立，即b_n≤,

那么b_k+1=|a_k+1-|=.

所以，当n=k+1时,不等式也成立.

由①②可知不等式对任意n∈N ₊都成立.

(2)由（1）知b_n≤，

所以S_n=b₁+b₂+…+b_n,

≤(-1)+=(-1)×

＜(-1)×.

故对任意n∈N ₊,S_n＜.