Question

13．数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n+（1-$\frac{n}{n+2}$），则{a_n}的通项公式a_n=$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n+（1-$\frac{n}{n+2}$）变形可知a_n+1-1=$\frac{n}{n+2}$（a_n-1），从而利用$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{n-1}{n+1}$、$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-2}-1}$=$\frac{n-2}{n}$、…、$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{3}$累乘可知$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n+（1-$\frac{n}{n+2}$），
∴a_n+1-1=$\frac{n}{n+2}$（a_n-1），
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{n-1}{n+1}$，$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-2}-1}$=$\frac{n-2}{n}$，…，$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{3}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴a_n-1=$\frac{2}{n（n+1）}$（a₁-1）=$\frac{2}{n（n+1）}$•（$\frac{1}{2}-1$）=-$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴a_n=1-$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$，
故答案为：$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形及利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．