Question

已知函数f(x)=(x-2)ex-

1

2

x2+x+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：当x≥1时，f(x)＞

1

6

x3-

1

2

x．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定函数的定义域然后求出函数的导涵数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．
（Ⅱ）将所求不等式进行整理得到g（x）=（x-1）（ex-

x

2

-

3

2

），令u（x）=ex-

x

2

-

3

2

，当x≥1时，u（x）在[1，+∞）上是增函数，进而得到g(x)=f(x)-

1

6

x3+

1

2

x在[1，+∞）上是增函数，即得证．

解答：解：（I）f′（x）=（x-1）（e^x-1）
由f′（x）＞0，解得x＜0或x＞1，
故f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上是增函数； f（x）在0，1）上是减函数，
当x=0时，f（x）有极大值f（0）=0，当x=1时，f（x）有极小值f(1)=

5

2

-e；
（II）设g(x)=f(x)-

1

6

x3+

1

2

xg′(x)=(x-1)(ex-

x

2

-

3

2

)，
令u（x）=ex-

x

2

-

3

2

，则u′(x)=ex-

1

2

，
当x≥1时，u′(x)=ex-

1

2

＞0，u（x）在[1，+∞）上是增函数，u（x）≥u（1）=e-2＞0
所以g′(x)=(x-1)(ex-

x

2

-

3

2

)≥0，g(x)=f(x)-

1

6

x3+

1

2

x在[1，+∞）上是增函数，
g(x)=f(x)-

1

6

x3+

1

2

x≥g(1)=

17

6

-e＞0，所以f(x)＞

1

6

x3-

1

2

x．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．