题目内容

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）满足 $数学公式$ ，且点P₁的坐标为（-1，1），设经过点P₁、P₂的直线为L．
（1）求直线L的方程；
（2）已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）在直线L上，求证：数列 $数学公式$ 是等差数列；
（3）在满足（II）条件下，求对于所有n∈N⁺，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）… $数学公式$ 成立的最大实数k的值．

解：（1）因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ．
所以过点P₁，P₂的直线l的方程为2x+y=1．
（2）因为P_n（a_n，b_n）在直线l上，所以2a_n+b_n=1．所以b_n+1=1-2a_n+1．
由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n（1-2a_n+1）．即a_n+1=a_n-2a_na_n+1．
所以 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列．
（3）由（2）得 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．（8分）
依题意 $\text{[math]}$ 恒成立．
设 $\text{[math]}$ ，
所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．
因为 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以F（n）（x∈N^*）为增函数．
所以 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ．由此知过点P₁，P₂的直线l的方程为2x+y=1．
（2）由P_n（a_n，b_n）在直线l上，知2a_n+b_n=1．故b_n+1=1-2a_n+1．由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n-2a_na_n+1．由此知 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列．
（3）由 $\text{[math]}$ ．，知 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．依题意 $\text{[math]}$ 恒成立．设 $\text{[math]}$ ，所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．
点评：本题考查数列与解析几何的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用公式．

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（写出函数的解析式）的图象上．

已知点集L={（x，y）|y=

=（2x-b，1），

=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）（n∈N⁺）在L中，p₁为L与y轴的交点，数列{a_n}是公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（n）=

an，(n为奇数)

bn，(n为偶数)

，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），试写出S_n关于n的表达式；
（Ⅲ）若f（n）=

an，(n为奇数)

bn，(n为偶数)

，给定奇数m（m为常数，m∈N⁺，m＞2）．是否存在k∈N⁺，，使得
f（k+m）=2f（m），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

已知点集L={(x，y)|y=

=（2x-b，1），

=（1，b+1），点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f(n)=

an n为正奇数

bn n为正偶数

，令S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；试写出S_n关于n的函数解析式；

已知点集L={(x，y)|y=

=(1，1+b)，又知点列P_n（a_n，b_n）∈L，P₁为L与y轴的交点．等差数列{a_n}的公差为1，n∈N^*．
（Ⅰ）求P_n（a_n，b_n）；
（Ⅱ）若f(n)=

k∈N*，f(k+11)=2f(k)，求出k的值；
（Ⅲ）对于数列{b_n}，设S_n是其前n项和，是否存在一个与n无关的常数M，使

=M，若存在，求出此常数M，若不存在，请说明理由．

已知点集L={(x，y)|y=

=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若f(n)=

(k∈N+)，是否存在k∈N₊使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：

（n≥2，n∈N^*）．