题目内容

在△ABC中，a²+c²=2b²，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．
（1）求证：B≤ $数学公式$ ；
（2）若 $数学公式$ ，且A为钝角，求A．

解：（1）由余弦定理，得 $\text{[math]}$ ． …（3分）
因a²+c²≥2ac，∴ $\text{[math]}$ ．…（6分）
由0＜B＜π，得 $\text{[math]}$ ，命题得证． …（7分）
（2）正弦由定理得sin²A+sin²C=2sin²B． …（10分）
因 $\text{[math]}$ ，故2sin²B=1，于是sin²A=cos²C．…（12分）
因为A为钝角，所以 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ，不合，舍），
解得 $\text{[math]}$ ． …（14分）
分析：（1）由余弦定理求得 $\text{[math]}$ ，由a²+c²≥2ac，得 $\text{[math]}$ ，再由0＜B＜π 得 $\text{[math]}$ ，命题得证．
（2）正弦由定理及 $\text{[math]}$ ，故sin²A=cos²C，因为A为钝角，故 $\text{[math]}$ ，故有 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ，不合，舍），从而求得A的值．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于中档题．