Question

设函数f（x）=2sin x•cos²

φ

2

+cosx•sinφ-sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若f（α）=

1

7

，f（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，求f（β ）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，再由三角函数的性质可得答案．
（Ⅱ）先由（Ⅰ）中结果确定函数f（x）的解析式，然后将α代入求出α余弦函数值，求出sin（α-β），以及cosβ=cos[α-（α-β）]求出最后结果．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinx•

1+cosφ

2

+cosx•sinφ-sinx=sin（x+φ）
∵当x=π时，f（x）取得最小值
∴sin（π+φ）=-1即sinφ=1．
又∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=cosx，
由条件可知：cosα=

1

7

，cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

，
由cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

，得sinα=

1-cos2α

=

1-( 1 7 )2

=

4 3

7

．
由0＜β＜α＜

π

2

，得0＜α-β＜

π

2

，
又∵cos（α-β）=

13

14

，∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

1-( 13 14 )2

=

3 3

14

，
由β=α-（α-β）得：
f（β）=cosβ=cos[α-（α-β）]
=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

．

点评：本题主要考查二倍角公式和同角三角函数的基本关系式的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．