Question

已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)=x²-2x+2，若对任意x₁∈(0，+∞)，均存在x₂∈[0，1]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范围。

Answer 1

解：(1)由题意知，f′(1)=2+1=3，
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3；
(2)，
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；
②当a＜0时，由f′(x)=0，得，在区间上，f′(x)＞0，在区间上，f′(x)＜0，
所以，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；
(3)由题意知，转化为(其中x₁∈(0，+∞)，x₂∈[0，1])，
由(2)知，当a≥0时，f′(x₁)＞0，f(x₁)在(0，+∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意；
当a＜0时，f(x₁)在上单调递增，在上单调递减，
故f(x₁)的极大值即为最大值，
f（x₁）_max=，
所以，
解得。