Question

已知函数f（x）=|x-1|-lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（2）试比较：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

与

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

的大小（n∈N^*，且n≥2），并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）在不同的区间内分别讨论f（x）的单调区间及最小值，最后统一答案，
（2）利用（1）得到的结论利用放缩将不等式右边的化成需要的形式再求题目所问的问题

解答：解：（1）当x≥1时，f（x）=x-1-lnx f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的
当0＜x＜1时f（x）=1-x-lnx f′（x）=-1-lnx＜0
∴f（x）在区间（0，1）上是递减的
f（x）在（0，1）内单调递减，在【1，+∞）上单调递增，故当x=1时，f（x）有最小值f（1），且f（1）=0
（2）由（1）x＞1时，有x-1-lnx＞0即

lnx

x

＜1-

1

x

∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+ 1-

1

32

+…+1-

1

n2

=n-1+（

1

22

+

1

32

+…+ 

1

n2

）＜n-1-（

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n+1)

）=n-1-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=n-1-（

1

2

-

1

n+1

）=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

点评：该题不容易想到放缩的方式，在放缩时容易做错．考查数学归纳法以及利用导数求单调性