Question

（本小题满分12分）
已知函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”。记集合
（1）已知，若是在上单调递增函数，是否有？若是，请证明。
（2）记表示集合中元素的个数，问：
若函数，若,则是否等于0？若是，请证明
若，试问：是否一定等于1？若是，请证明

Answer 1

(1) (2),是不一定等于1。

试题分析：（1）证明：先证 任取，则

再证 任取
若，不妨设
由单调递增可知： 与 矛盾
同理也矛盾，所以

综上：
（2）①若 由于无实根 则对任意实数x，
从而 故无实根
同理若对任意实数x， ，从而 
故也无实根

②不妨设是B中唯一元素 则
令 那么 而
故 说明t也是的不动点
由于 只有唯一的不动点  故 即
这说明t也是的不动点，从而存在性得证
以下证明唯一性：若还有另外一个不动点m，即
则 这说明还有另外一个稳定点m
与题设矛盾。
点评：结合新定义，和已学的函数单调性的性质，来分析函数的最值， 同时对于不动点的问题，要加以转化为方程根的问题来处理，属于中档题。