Question

解答下列问题：
（1）若f（x+1）=2x²+1，求f（x）；
（2）若2f（x）-f（-x）=x+1，求f（x）；
（3）若函数f（x）=

x

ax+b

，f（2）=1，且方程f（x）=x有唯一解，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）给出函数f（x+1）=2x²+1，可令x+1=t，解出t后代到等式右侧，求出f（t），则f（x）可求；
（2）原等式可以看作关于f（x）与f（-x）的二元一次方程，取x=-x后可得另一方程，联立即可求解f（x）；
（3）由f（2）=1得到关于a、b的一个方程，再由方程f（x）=x有唯一解得一个方程，联立后可求f（x）．

解答：解：（1）令x+1=t，则x=t-1，所以f（t）=2（t-1）²+1=2t²-4t+3，即f（x）=2x²-4x+3；
（2）由2f（x）-f（-x）=x+1①，取x=-x，代入该式得：2f（-x）-f（x）=-x+1②，
联立①②得：f(x)=

1

3

x+1；
（3）因为函数f（x）=

x

ax+b

，由f（2）=1得：

2

2a+b

=1③
由方程f（x）=x有唯一解，即

x

ax+b

=x有唯一解，
也就是ax²+（b-1）x=0有唯一解，
当a=0时，由③得b=2．
当a≠0时，则有（b-1）²=0，所以b=1，代入③得：a=

1

2

所以f（x）=

x

2

或f（x）=

2x

x+2

．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了换元法及方程思想，特别是（3）中考查了分类讨论的思想，是极易出错的问题．