Question

已知函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意对函数求导，然后利用极值的概念列出a，b的方程，在求解即可
（II）由题意应该先求具体函数的单调区间，然后利用已知的条件及集合的思想，建立的m取值范围的不等式組求解即可

解答：解：求导，f′(x)=

a(x2+b)-ax•2x

(x2+b)2

=

a(-x2+b)

(x2+b)2

，
又f（x）在x=1处取得极值2，
所以

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(b-1) (b+1)2 =0 a b+1 =2

，
解得

a=4 b=1

所以f(x)=

4x

x2+1

．
（Ⅱ）因为f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，
又f（x）的定义域是R，所以由f'（x）＞0，
得-1＜x＜1．所以f（x）在[-1，1]上单调递增，
在（-∞，-1]和[1，+∞）上单调递减．
    （1） 当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
则

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0；
    （2）当f（x）在区间（m，2m+1）上单调递减，
则

2m+1≤-1 2m+1＞m

或

m≥1 2m+1＞m

解得m≥1．
综上，实数m的取值范围是-1＜m≤0或m≥1．

点评：（I）考查了函数的求导及极值的概念，还考查了利用方程求解的思想．
（II）考查了利用导函数函数求其单调区间，及由题意把所求问题等价转化为集合中两个集合子集的关系，还考查了数学中常用的分类讨论的思想．