题目内容
已知函数f(x)=2-(
sinx-cosx)2
（1）当x∈[0，
]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
=
，
=2+2cos(A+C)，求f（B）的值．
| 3 |
（1）当x∈[0，
| π |
| 2 |
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
| b |
| a |
| 3 |
| sin(2A+C) |
| sinA |
分析：（1）f（x）解析式利用完全平方公式展开，利用二倍角的正弦、余弦函数公式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；
（2）已知等式变形后利用两角和与差的正弦 函数公式化简，整理得到sinC=2sinA，利用正弦定理得到c=2a，再由b=
a，利用余弦定理表示出cosA，求出A的度数，进而确定出B与C的度数，即可确定出f（B）的值．
（2）已知等式变形后利用两角和与差的正弦 函数公式化简，整理得到sinC=2sinA，利用正弦定理得到c=2a，再由b=
| 3 |
解答：解：（1）f（x）=2-（3sin2x+cos2x-2
sinxcosx）
=cos2x-sin2x+2
sinxcosx
=cos2x+
sin2x
=2sin（2x+
），
∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，
∴sin（2x+
）∈[-
，1]，
则f（x）的值域为[-1，2]；
（2）由条件得：sin（2A+C）=sin[（A+C）+A]=2sinA+2sinAcos（A+C），
sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得：sinC=2sinA，
∴由于正弦定理得：c=2a，
又b=
a，
∴由余弦定理得cosA=
=
=
，
∴A=30°，即sinC=2sinA=1，
∴B=60°，C=90°，
则f（B）=f（60°）=2sin150°=1．
| 3 |
=cos2x-sin2x+2
| 3 |
=cos2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴sin（2x+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
则f（x）的值域为[-1，2]；
（2）由条件得：sin（2A+C）=sin[（A+C）+A]=2sinA+2sinAcos（A+C），
sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得：sinC=2sinA，
∴由于正弦定理得：c=2a，
又b=
| 3 |
∴由余弦定理得cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 3a2+4a2-a2 | ||
4
|
| ||
| 2 |
∴A=30°，即sinC=2sinA=1，
∴B=60°，C=90°，
则f（B）=f（60°）=2sin150°=1．
点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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