Question

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且

1

a+b

+

1

a+c

=

3

a+b+c

（1）求角A 的大小；
（2）若

c

b

=

1

2

+

3

，a=

15

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）在已知的等式两边同时乘以a+b+c，变形后得到一个关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得到的关系式代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）根据正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

化简已知的等式，然后由A+B+C=π，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简，把sinA，cosA的值代入即可求出tanB的值，然后再由同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）由题意

a+b+c

a+b

+

a+b+c

a+c

=3，即

c

a+b

+

b

a+c

=1，
整理得：b²+c²-a²=bc，（2分）
由余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵在△ABC中，0＜A＜π，
∴A=

π

3

；（6分）
（2）由正弦定理得：

c

b

=

sinC

sinB

=

sin(A+B)

sinB

=

sinAcosB+cosAsinB

sinB

，
所以

sinA

tanB

+cosA=

3

2tanB

+

1

2

=

1

2

+

3

，
解得tanB=

1

2

，
则cos²B=

1

sec2B

=

1

1+tan2B

=

4

5

，又B∈（0，π），
所以sinB=

1- 4 5

=

5

5

，（10分）又a=

15

，sinA=

3

2

，
由正弦定理得b=

asinB

sinA

=

15 × 5 5

3 2

=2．（12分）

点评：此题考查了正弦定理、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．