Question

（2012•兰州模拟）已知点M是直线x=-

1

2

上的动点，F(

1

2

，0)为定点，过点M且垂直于直线x=-

1

2

的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q（a，0）（a＞0）且与x轴不垂直的直线l与点P的轨迹有两个不同交点A、B，若在x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由过点M且垂直于直线x=-

1

2

的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P，可得|PF|=|PM|，利用抛物线的定义可得点P的轨迹是抛物线，从而求得方程；
（2）设直线l的方程与抛物线方程联立，确定AB中点的坐标，利用△ABC为正三角形，建立两个方程，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵过点M且垂直于直线x=-

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的直线和线段MF的垂直平分线相交于点P，∴|PF|=|PM|，
∴由抛物线的定义可得点P的轨迹C是以F为焦点，以直线x=-

1

2

为准线的抛物线，
∴点P的轨迹方程为y²=2x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），C（t，0），直线l的方程为x=my+a（m≠0）
与抛物线方程联立，消去x可得：y²-2my-2a=0
∴△=4m2+8a＞0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a
∴y₀=m，x₀=m²+a
∵△ABC为正三角形，
∴NC⊥AB，NC=

3

2

AB
∴

y0

x0-t

×

1

m

=-1，

(x0-t)2+y02

=

3

2

(x1-x2)2+(y1-y2)2

∴t=m²+a+1，

(m2+a-t)2+m2

=

3

2

(m2+1)×4(m2+2a)

∴1+m²=3（m²+1）（m²+2a）
∴a=

1

6

-

m2

2

∵m≠0，a＞0
∴0＜a＜

1

6

∴实数a的取值范围为（0，

1

6

）．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．