Question

已知数列{a_n}的满足a₁=3，a_n-3a_n-1=-3ⁿ（n≥2）．
（1）求证：数列{

an

3n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知式子两边同除以3ⁿ，由等差数列的定义可得；（2）由（1）结合等差数列的通项公式可得；
（3）由（2）可得Sn=1×3+0×32+(-1)×33+…+(3-n)•3n-1+(2-n)•3n，由错位相减法可得其和．

解答：（1）证明：∵an-3an-1=-3n(n≥2)，
∴

an

3n

-

an-1

3n-1

=-1，

a1

3

=

3

3

=1（4分）
∴数列{

an

3n

}是以-1为公差，1为首项的等差数列．       （5分）
（2）由（1）得

an

3n

=-n+2，∴an=(2-n)•3n（6分）
（3）由（2）得Sn=1×3+0×32+(-1)×33+…+(3-n)•3n-1+(2-n)•3n（7分）
∴3Sn=1×32+0×33+(-1)×34+…+(3-n)•3n+(2-n)•3n+1（9分）
两式相减得，-2Sn=3-(32+33+34+…+3n)-(2-n)3n+1=3-

9×(3n-1-1)

3-1

-(2-n)3n+1（12分）
整理得：Sn=-

15+(2n-5)•3n+1

4

（14分）

点评：本题考查数列求和的错位相减法，涉及等差数列的判断，属中档题．