Question

在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=

3

，且AD⊥BC，对角线BD=

13

2

，AC=

3

2

，AC和BD所成的角是（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  π

  4

• C．

  π

  2

• D．

  π

  12

Answer 1

分析：分别取BC、AD、CD、BD、AB中点E、F、G、H、I，连接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI，可得∠FGE、∠GHI（或其补角）分别是AC和BD、AD和BC所成的角．平行四边形EGFI中，利用平方关系算出EF=1，从而在△FGE中得到GF²+GE²=EF²，得∠FGE=

π

2

，即得异面直线AC和BD所成的角为

π

2

．

解答：解：分别取BC、AD、CD、BD、AB中点E、F、G、H、I，
连接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI
∵△BCD中，GE是中位线，∴GE∥BD且GE=

1

2

BD
同理可得FI∥BD且FI=

1

2

BD
∴GE∥FI且GE=FI，得四边形EGFI是平行四边形
∵FG∥AC，GE∥BD
∴∠FGE（或其补角）是异面直线AC和BD所成的角
同理可得∠GHI（或其补角）是异面直线AD和BC所成的角
∵AD⊥BC，∴∠GHI=90°
∵GH=

1

2

BC=

3

2

，HI=

1

2

AD=

1

2

，∴GI=

GH2+HI2

=1
∵平行四边形EGFI中，FI=GE=

1

2

BD=

3

4

，FG=EI=

1

2

AC=

13

4

∴EF²+GI²=2（EI²+FI²），得EF²+1=2（

13

16

+

3

16

），解得EF=1
因此，GF²+GE²=1=EF²，可得∠FGE=

π

2

∴异面直线AC和BD所成的角为

π

2

故选：C

点评：本题在空间四边形ABCD中，已知相对棱的长度和所成角，并且知道对角线长度的情况下求对角线所成角大小，着重考查了空间四边形的性质和异面直线所成角求法等知识，属于中档题．