Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），f（x）=

-x2+1  -1≤x≤1 log2(-|x-2|+2) ，1＜x≤3

，若关于x的方程f（x）-ax=0有5个不同实根，则正实数a的取值范围是（　　）

• A、(

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• B、(

  1

  6

  ，

  1

  4

  )
• C、(16-6

  7

  ，

  1

  6

  )
• D、(

  1

  6

  ，8-2

  15

  )

Answer 1

分析：由f（x）-ax=0得f（x）=ax，根据函数f（x）的周期性，分别作出函数y=f（x）和y=ax的图象，利用方程有5个不同的实根，利用数形结合即可得到结论．

解答：解：当1＜x≤2时，-|x-2|+2=x-2+2=x，此时f（x）=log?₂（-|x-2|+2）=log?₂x，
当2≤x≤3时，-|x-2|+2=-（x-2）+2=-x+2+2=4-x，此时f（x）=log?₂（-|x-2|+2）=log?₂（4-x），
∵f（x+4）=f（x），
∴函数的周期是4，
由f（x）-ax=0得f（x）=ax，
设函数y=f（x）和y=ax，
作出函数f（x）的图象如图：
要使方程f（x）-ax=0有5个不同实根，
即函数y=f（x）和y=ax有5个不同的交点，
则由图象可知当直线y=ax经过点B（6，1）时，此时两个图象有6个交点，此时由1=6a，解得a=

1

6

，
当直线y=ax，在A处与f（x）相切时，此时两个图象有4个交点，
∵当3≤x≤5时，-1≤x-4≤1，
此时f（x）=f（x-4）=-（x-4）²+1，
由f（x）=ax，得-（x-4）²+1=ax，
整理得x²+（a-8）x+15=0，
则由△=（a-8）²-4×15=0，
得△=（a-8）²=60，
即a-8=±

60

=±2

15

，
∴a=8±2

15

，
此时方程的根x=-

a-8

2

∈(3，4)，
解得0＜a＜2，
∴此时a=8-2

15

，
∴满足条件的a的取值范围是

1

6

＜a＜8-2

15

，
故选：D．

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，根据方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．本题难度较大，综合性较强．