题目内容

在平面直角坐标系xOy中，方向向量为 $数学公式$ 的直线l经过椭圆 $数学公式$ 的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点
（1）若点A在x轴的上方，且 $数学公式$ ，求直线l的方程；
（2）若k=1，P（6，0），求△PAB的面积；
（3）当k（k∈R且k≠0）变化时，试求一点C（x₀，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．

解：（1）由题意a²=18，b²=9得c=3，∴F（3，0），
∵ $\text{[math]}$ 且点A在x轴的上方，得A（0，3），k=-1， $\text{[math]}$ ．
直线l： $\text{[math]}$ ，即直线l的方程为x+y-3=0
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），当k=1时，直线l：y=x-3
将直线与椭圆方程联立 $\text{[math]}$ ，
消去x得，y²+2y-3=0，解得y₁=-3，y₂=1，
|y₁-y₂|=4，
∴ $\text{[math]}$ ．
（3）假设存在这样的点C（x₀，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，由题意得，
直线l：y=k（x-3）（k≠0） $\text{[math]}$ ，消去y得，（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
△＞0恒成立， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴2kx₁x₂-k（x₀+3）（x₁+x₂）+6kx₀=0，
$\text{[math]}$ ．
解得x₀=6，所以存在一点（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．
分析：（1）利用椭圆的标准方程和a²=b²+c²，即可得到F及A的坐标，从而得到k的值，即可得到直线l的方程；
（2）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出点A、B的纵坐标，利用 $\text{[math]}$ 即可得到面积；
（3）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，表示出直线AC和BC的斜率，令其和为0解出x₀即可．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程和a²=b²+c²、点斜式得到直线l的方程与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系、三角形的面积计算公式是解题的关键．