Question

已知函数f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=-x²+2bx-4，若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂） 恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1的定义域是（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

4x-x2-3

4x2

=

-(x-1)(x-3)

4x2

，
由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，
故函数f（x）的单调递增区间是（1，3）；单调递减区间是（0，1），（3，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，
所以当x∈（0，2）时，f(x)min=f(1)=-

1

2

，
对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
问题等价于-

1

2

≥g（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即-

1

2

≥-x2+2bx-4恒成立．
不等式可变为b≤

x2+ 7 2

2x

=

x

2

+

7

4x

，
因为x∈[1，2]，所以

x

2

+

7

4x

≥2

x 2 × 7 4x

=

14

2

，当且仅当

x

2

=

7

4x

，即x=

14

2

时取等号．
所以b≤

14

2

，
故实数b的取值范围是（-∞，

14

2

]．