Question

设F是抛物线C:y²=4x的焦点，过点A(-1，0)的直线l与抛物线C相交于M、N两点．

(Ⅰ)求线段MN的中点轨迹方程；

(Ⅱ)若，求λ的取值范围．

Answer 1

解：设l的方程为  y=k(x+1)

由

得k²x²+(2k²-4)x+k²=0

因为l与C有两个不同的交点，所以

解之得-1＜k＜1，且k≠0.

(Ⅰ)设M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，则

x₁+x₂=,x₁x₂=1

设MN的中点P(x，y)，则x

又y=k(x+1)  消去k得y²=2(x+1) 

∵-1＜k＜1，且k≠0，∴x

∴MN的中点P(x，y)的轨迹方程为y²=2（x+1）（x＞1）

(Ⅱ)由=λ，知（x₁+1，y₁）=λ(x₂+1，y₂)

∴

由②得即4x₁=λ²·4x₂   ∴x₁=λ²x₂     ③

由①，③得λ（λ-1）x₂=λ-1

∵M与N不同    ∴λ≠1

∴x₂=，x₁=λ

于是λ+.

∵0＜k²＜1   ∴＞1；-2＞2

∴λ+＞2  ∴λ＞0且λ≠1

即λ的取值范围为(0，1)∪(1，+∞).