Question

(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.
(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.
①          求证:圆心在定直线上；
②          圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分
而,所以，故椭圆的标准方程为…………………5分
(Ⅱ)①解法一:易得直线,
所以可得,再由∥,得……………8分
则线段的中垂线方程为, 线段的中垂线方程为,
由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分
经验证,该圆心在定直线上…………………………… 11分
解法二: 易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分
设的外接圆的方程为,
则,解得…10分
所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上  …11分
②由①可得圆C的方程为………13分
该方程可整理为,
则由,解得或,
所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分

略