题目内容

求证：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n-2
2
（n≥2）．
分析：题干错误：：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n-2
2
，应该是：：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n-1
＞
n-2
2
，请给修改
解答：证明：①当n=2时，左=
1
2
＞0=右，
∴不等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立．
即
1
2
+
1
3
+…+
1
2k-1
＞
k-2
2
成立．
那么n=k+1时，
1
2
+
1
3
+…+
1
2k-1
 
+
1
2k-1+1
+…+
1
2k-1+2k-1

＞
k-2
2
+
1
2k-1+1
+…+
1
2k
＞
k-2
2
+
1
2k
+
1
2k
+…+
1
2k

=
k-2
2
+
2k-1
2k
=
(k+1)-2
2
，
∴当n=k+1时，不等式成立．
据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立
点评：本题主要考查
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相关题目
已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+
1-a
x+1
（a＞
1
2
）．
（Ⅰ）当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=2x+1垂直时，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
（III）求证：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜ln(n+1)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
   (n∈N*)．
已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若g(x)=
1
4
x2-x+f(x)，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）当x＞0时，求证
1
1+x
＜f(
1
x
)＜
1
x
；
（3）当n∈N+且n≥2时，求证：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
＜f(n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
设函数f（x）=
1-x
ax
+lnx在[1，+∞）上为增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）若a=1，求证：
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
＜lnn＜n+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n-1
（n∈N*且n≥2）．
数列{an}满足a1=
1
3
，  an+1=
a
2
n
a
2
n
-an+1
(n=1，2，…)．
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ） 求证：a1+a2+…+an=
1
2
-
an+1
1-an+1
；
（Ⅲ）求证：
1
2
-
1
32n-1
＜a1+a2+…+an＜
1
2
-
1
32n
．

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