Question

已知函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（I）判断函数y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

Answer 1

（Ⅰ）当a＞1时，y=a^x在R上单调递增，y=a-x=(

1

a

)x在R上单调递减，
y=-a^x在R上单调递增，又因为两个增函数相加所得的函数为增函数，
所以f（x）=a^x-a^-x在R上单调递增；
同理可得，当0＜a＜1时，原函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）在R上单调递减．
（Ⅱ）∵f（1）=

3

2

∴a-

1

a

=

3

2

即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-

1

2

（舍去）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2
令t=f（x）=2^x-2^-x
∵x≥1，∴t≥f(1)=

3

2

∴g（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²
g（t）是关于t的二次函数的一部分，开口向上，对称轴为x=m结合图象可知：
当m≥

3

2

时，g(t)min=g(m)=2-m2=-2，∴m=2或m=-2（舍去）
当m＜

3

2

时，g(t)min=g(

3

2

)=

17

4

-3m=-2，∴m=

25

12

＞

3

2

（舍去）
综上可知m=2．