Question

二次函数f（x）=ax²+（2a-1）x+1在区间[-

3

2

，2]的最大值为3，则实数a=（　　）

• A．±

  1

  2

• B．±

  1

  2

  或-

  2

  3

• C．-

  1

  2

  或-

  2

  3

• D．

  1

  2

  或-

  2

  3

Answer 1

分析：由给出的函数是二次函数知，a≠0，然后分a＞0和a＜0两类情况讨论，对每一种情况根据对称轴的范围确定函数的单调性，利用单调性求出最大值，由最大值等于3列式求解实数a的值．

解答：解：∵函数f（x）=ax²+（2a-1）x+1是二次函数，∴a≠0．
若a＞0时，其对称轴方程为x=-

2a-1

2a

=-1+

1

2a

＞-1．
当-1+

1

2a

≤

1

4

，即a≥

2

5

时，
f（x）_max=f（2）=4a+2（2a-1）+1=8a-1，
由8a-1=3，得a=

1

2

；
当-1+

1

2a

＞

1

4

，即a＜

2

5

时，
f(x)max=f(-

3

2

)=

9

4

a-

3

2

(2a-1)+1=-

3

4

a+

5

2

．
由-

3

4

a+

5

2

=3，得a=-

2

3

（舍）．
若a＜0，其对称轴方程为x=-

2a-1

2a

=-1+

1

2a

＜-1．
当-1+

1

2a

＞-

3

2

，即a＜-1时，
f(x)max=f(-1+

1

2a

)=-a2-a-

1

4a

+2．
由-a2-a-

1

4a

+2=3可知，次方程在a＜-1时无解；
当-1+

1

2a

≤-

3

2

，即-1≤a＜0时，
f(x)max=f(-

3

2

)=-

3

4

a+

5

2

．
由-

3

4

a+

5

2

=3，得a=-

2

3

．
综上，使二次函数f（x）=ax²+（2a-1）x+1在区间[-

3

2

，2]上的最大值为3的实数a等于

1

2

或-

2

3

．
故选：D．

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是分类要正确，属中档题．