Question

【题目】已知函数f（x）=x2+4[sin（θ+ ）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．
（1）若函数f（x）为偶函数，求tanθ的值；
（2）若f（x）在[﹣ ，1]上是单调函数，求θ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），

则x2+4[sin（θ+ ）]x﹣2=x2﹣4[sin（θ+ ）]x﹣2，

则sin（θ+ ）=0，

∵θ∈[0，2π]，

∴θ+ =kπ，

即θ=﹣ +kπ，

∴tanθ=tan（﹣ +kπ）=﹣ ．

（2）解：∵f（x）=x2+4[sin（θ+ ）]x﹣2，θ∈[0，2π]]．

∴对称轴为x=﹣2sin（θ+ ），

若f（x）在[﹣ ，1]上是单调函数，

则﹣2sin（θ+ ）≥1或﹣2sin（θ+ ）≤ ，

即sin（θ+ ）≥ 或sin（θ+ ）≤ ，

即2kπ+ ≤θ+ ≤2kπ+ ，或2kπ+ ≤θ+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

即2kπ+ ≤θ≤2kπ+ ，或2kπ≤θ≤2kπ+ ，k∈Z，

∵θ∈[0，2π]，

∴ ≤θ≤ ，或0≤θ≤

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．（2）利用一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．
【考点精析】通过灵活运用函数的奇偶性，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．