Question

(本题满分15分)

已知直线方程为.

(Ⅰ)证明：直线恒过定点；

(Ⅱ)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求△面积的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

(Ⅰ)证明：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4.   …3分

由得，

∴直线必过定点(－1，－2)．                  …………………………………6分

(Ⅱ)解：设直线的斜率为k（k<0），则其方程为y＋2＝k(x＋1)，

∴OA＝|－1|，OB＝| k－2 |，                       …………………………8分

S_△AOB＝·OA·OB＝|(－1)(k－2)|＝|－|.          .………………………10分

∵k<0，∴－k>0，

∴S_△AOB＝[－]＝[4＋(－)＋(－k)]≥4.

当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号.                ………………………13分

∴△AOB的面积最小值是4，                      ……………………………14分

直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即y＋2x＋4＝0.             …………………15分