Question

如果双曲线x²-my²=1（m＜1）上一点P与两焦点F₁，F₂构成的三角形面积为1，则此三角形的形状为（　　）

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等边三角形

Answer 1

分析：先根据双曲线方程确定几何量，再利用三角形的面积公式及余弦定理，可建立方程，利用同角三角函数的平方关系，可用m表示cosα，利用m＜1，即可求解．

解答：解：双曲线x²-my²=1（m＜1）中，a2=1，b2=

1

m

，c2=1+

1

m

不妨设|PF₂|=x，|PF₁|=x+2，∠F₁PF₂=α
则x2+(x+2)2-4c2=x2+(x+2)2-4(1+

1

m

)=2x（x+2）-

4

m

∵三角形的面积为1，
∴

1

2

x(x+2)sinα=1
∴x(x+2)=

2

sinα

∵cosα=

x2+ (x+2)2 -4c2

2x(x+2)

=1-

2

mx(x+2)

∴cosα=1-

sinα

m

∵cos²α+sin²α=1
∴sinα=

2m

m2+1

∴cosα=1-

sinα

m

=

m2-1

m2+1

∵m＜1
∴cosα＜0
∴α为钝角
故三角形为钝角三角形
故选C．

点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的焦点三角形，合理运用双曲线的定义，正确运用余弦定理是解题的关键．