Question

(本小题满分16分)已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，⊙是以为直径的圆.

（Ⅰ）当⊙的面积为时，求所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙与直线相切时，求⊙的方程；
（Ⅲ）求证：⊙总与某个定圆相切.

Answer 1

PA 或
M

（Ⅰ）易得，设点P，
则，所以  3分
又⊙的面积为，∴，解得，∴，
∴所在直线方程为或    5分
（Ⅱ）因为直线的方程为，且到直线的
距离为   7分
化简，得，联立方程组，
解得或   10分
∴当时，可得，∴⊙的方程为；
当时，可得，∴⊙的方程为   12分
（Ⅲ）⊙始终和以原点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作⊙）相切 13分
证明：因为，
又⊙的半径，
∴，∴⊙和⊙相内切     16分
（说明：结合椭圆定义用几何方法证明亦可）