Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=

x

，若存在x∈[t²-1，t]，使不等式f（2x+t）≥2f（x）成立，则实数t的取值范围是．

（

1- 5

2

，

1+ 17

4

）

．

Answer 1

分析：由当x≥0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足3f（x）=f（ x），再根据不等式f（x+t）≥3f（x）=f（ x）在[t，t+3]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+3]恒成立，即可得出答案．

解答：解：当x≥0时，f(x)=

x

，
∵函数是奇函数∴当x＜0时，f(x)=-

x

．
∴f（x）=

x ，x≥0 - x ，x＜0

，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足f（2x+t）≥2f（x）．
∵不等式f（2x+t）≥2f（x）=f（4x）在[t²-1，t]恒成立，
∴2x+t≥4x在[t²-1，t]恒成立，即：t≥2x，在[t²-1，t]恒成立，
∴t≥2t²-2且t≥t²-1，∴

1- 5

2

≤t≤

1+ 17

4

，
故答案为：（

1- 5

2

，

1+ 17

4

）．

点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．