题目内容
【题目】设
.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围.
【答案】（1）答案见解析（2）
【解析】
（1）求函数导数，根据
的取值范围分类讨论即可求出函数的单调性；
（2）由（1）求函数在
时的最小值，问题转化为函数的最小值大于0恒成立，根据函数单调性，分类讨论求函数的最小值，并判定最小值与0的大小关系即可求解.
（1）
，
，
①当
时，即
时，
，
在
上是减函数；
②当
时，即
时，
由
，
解得
，
当
时，，当
时，
，
在
单调递减，在
上单调递增，
综上，时，函数在上是减函数，无单调增区间；
时，函数在单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，
若时，
在
无最小值，所以f(x)>0不恒成立；
若时，
①当时，
，
所以函数在上单调递增，
所以
，
即当x>0时，f(x)>0恒成立；
②当
时，
，
函数在
递减，在上递增，
所以当时，
，
只需
即可，
令
，
，
则
，
所以
在
上是增函数，
故
，
即无解，
所以时，f(x)>0不恒成立。
综上，k的取值范围为.
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