题目内容
已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为
，且过点P（4，-
）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：
•
=0；
（3）求△F1MF2的面积．
| 2 |
| 10 |
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：
| MF1 |
| MF2 |
（3）求△F1MF2的面积．
分析：（1）双曲线方程为x2-y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出
•
的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出
•
=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．
（2）先求出
| MF1 |
| MF2 |
| MF1 |
| MF2 |
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．
解答：（1）解：∵e=
，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ．
∵过点（4，-
），∴16-10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x2-y2=6；
（2）证明：∵
=（-3-2
，-m），
=（2
-3，-m），
∴
•
=（-3-2
）×（2
-3）+m2=-3+m2，
∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0，
∴
•
=0．
（3）解：△F1MF2中|F1F2|=4
，由（2）知m=±
．
∴△F1MF2的F1F2边上的高h=|m|=
，∴S△F1MF2=6．
| 2 |
∵过点（4，-
| 10 |
∴双曲线方程为x2-y2=6；
（2）证明：∵
| MF1 |
| 3 |
| MF2 |
| 3 |
∴
| MF1 |
| MF2 |
| 3 |
| 3 |
∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0，
∴
| MF1 |
| MF2 |
（3）解：△F1MF2中|F1F2|=4
| 3 |
| 3 |
∴△F1MF2的F1F2边上的高h=|m|=
| 3 |
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查向量的数量积公式，考查三角形面积的计算，属于中档题．
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