Question

已知函数f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，若f（x）≤0恒成立，则实数k的取值范围为

k≥1

．

Answer 1

分析：利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范围．

解答：解：f'（x）=

1

x-1

-k=0得x=1+

1

k

，
当k≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，
当k＞0时，函数f（x）在（1，1+

1

k

）单调递增，在（1+

1

k

，+∞）单调递减，
当x=1+

1

k

时，f（x）取最大值，f（1+

1

k

）=ln

1

k

≤0
∴k≥1．
故实数k的取值范围是k≥1．
故答案为：k≥1．

点评：本题主要考查求函数的导数，函数的恒成立问题，属于基础题．