Question

给定实数a，b，c．已知复数z₁、z₂、z₃满足求|az₁+bz₂+cz₃|的值．

Answer 1

【答案】分析：注意到条件（1），不难想到用复数的三角形式；注意到条件（2），可联想使用复数为实数的充要条件进行求解．
解答：解：法一由|z₁|=|z₂|=|z₃|=1，可设=cosθ+isinθ，=cosφ+isinφ，
则==cos（θ+φ）-isin（θ+φ）．因=1，其虚部为0，
故0=sinθ+sinφ-sin（θ+φ）=2sincos-2sincos
=2sin（cos-cos）=4sinsinsin．
故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．因而z₁=z₂或z₂=z₃或z₃=z₁．
若z₁=z₂，代入（2）得=±i，此时
|az₁+bz₂+cz₃|=|z₁|?|a+b±ci|=．
类似地，如果z₂=z₃，则|az₁+bz₂+cz₃|=；
如果z₃=z₁，则|az₁+bz₂+cz₃|=．
解法二由（2）知∈R，
故=，
即=．
由（1）得z_k=（k=1，2，3），代入上式，
得=，
即z₁²z₃+z₂²z₁+z₃²z₂=z₂²z₃+z₃²z₁+z₁²z₂，
分解因式，得（z₁-z₂）（z₂-z₃）（z₃-z₁）=0，
于是z₁=z₂或z₂=z₃或z₃=z₁．下同解法一．
点评：①解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：z∈R?z=，以及视，等为整体，从而简化了运算．
②解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果．