Question

15．如图的平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在单位圆上，A（2，0），∠AOB=θ，△ABC为等边三角形．
（1）若直线OB的斜率为$\frac{2}{3}$，求$\frac{si{n}^{2}θ-sin2θ}{co{s}^{2}θ+cos2θ}$的值；
（2）若θ∈（0，π），求四边形OACB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由直线OB的斜率为$\frac{2}{3}$，可得tanθ=$\frac{2}{3}$．利用倍角公式与同角三角函数基本关系式即可得出．
（2）△OAB中，AB²=5-4cosθ．四边形OACB面积S=$\frac{1}{2}×1×2sinθ$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（5-4cosθ），化简利用三角函数的值域即可得出．

解答 解：（1）∵直线OB的斜率为$\frac{2}{3}$，∴tanθ=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{si{n}^{2}θ-sin2θ}{co{s}^{2}θ+cos2θ}$=$\frac{si{n}^{2}θ-2sinθcosθ}{co{s}^{2}θ+co{s}^{2}θ-si{n}^{2}θ}$=$\frac{ta{n}^{2}θ-2tanθ}{2-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{\frac{4}{9}-\frac{4}{3}}{2-\frac{4}{9}}$=$-\frac{4}{7}$；
（2）△OAB中，AB²=1+2²-2×2×1×cosθ=5-4cosθ．
四边形OACB面积S=$\frac{1}{2}×1×2sinθ$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（5-4cosθ）
=sinθ-$\sqrt{3}$cosθ+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
=$2sin（θ-\frac{π}{3}）$+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
∵θ∈（0，π），∴$sin（θ-\frac{π}{3}）$∈$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$．
∴$2sin（θ-\frac{π}{3}）$+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$∈$（\frac{3\sqrt{3}}{4}，\frac{4+5\sqrt{3}}{4}]$．当且仅当$θ=\frac{5π}{6}$时取等号．
∴四边形OACB面积的最大值为$\frac{4+5\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、和差公式、余弦定理、三角函数的单调性与值域、等边三角形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．